(BIOGRAFÍAS) El Arquitecto de la Razón Matemática, EUCLIDES

Euclides de Alejandría (c. 325-265 a.C.) fue el matemático más influyente de la Antigüedad y quizás de todos los tiempos. Conocido como "el padre de la geometría", este erudito griego compiló, organizó y sistematizó el conocimiento matemático de su época en una obra monumental: Los Elementos. Este tratado de trece libros se convertiría en el texto educativo más exitoso de la historia, superado en difusión únicamente por la Biblia. Durante más de dos mil años, generaciones enteras de estudiantes aprendieron a razonar lógicamente a través de sus páginas, y su influencia se extendió mucho más allá de las matemáticas, moldeando el pensamiento científico y filosófico occidental.

El Enigma del Hombre

Paradójicamente, sabemos muchísimo sobre la obra de Euclides pero casi nada sobre su vida. Como resume el historiador Peter Schreiber: "Sobre la vida de Euclides, ni un solo hecho seguro es conocido". No existe ninguna carta personal, ninguna indicación autobiográfica, ningún documento oficial, ni siquiera una mención contemporánea que confirme detalles de su existencia.

Lo poco que creemos saber proviene principalmente de Proclo, un filósofo neoplatónico que vivió unos 750 años después de Euclides, en el siglo V d.C. En sus comentarios al primer libro de *Los Elementos*, Proclo escribió:

"Euclides reunió sus Elementos, organizando muchos teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de Teeteto, y demostrando irrefutablemente lo que sus predecesores habían probado de manera imperfecta. Este hombre vivió bajo Ptolomeo I, pues Arquímedes lo menciona. Euclides es, por tanto, más reciente que los discípulos de Platón pero más antiguo que Arquímedes y Eratóstenes".

Si aceptamos esta cronología, Euclides habría florecido alrededor del año 300 a.C., durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, el general macedonio que se convirtió en faraón de Egipto tras la muerte de Alejandro Magno. Alejandría, la brillante ciudad fundada por Alejandro en el delta del Nilo, se estaba convirtiendo en el centro intelectual del mundo helenístico, y Euclides parece haber sido una figura clave en su desarrollo académico.

Tres Hipótesis Sobre Euclides

La escasez de información ha llevado a los historiadores a plantear tres teorías principales:

Primera hipótesis: Euclides fue una persona histórica real que escribió Los Elementos y las demás obras atribuidas a él. Esta es la interpretación tradicional, aceptada durante más de dos milenios.

Segunda hipótesis: Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos en Alejandría. Todos contribuyeron a las "obras completas de Euclides", continuando la tradición incluso después de su muerte, firmando con su nombre.

Tercera hipótesis: Euclides nunca existió como persona. Las obras fueron escritas por un colectivo de matemáticos alejandrinos que adoptaron el nombre "Euclides" del filósofo Euclides de Mégara, un discípulo de Sócrates que había vivido cien años antes.

La tercera hipótesis, aunque parezca fantástica, tiene un precedente moderno: Nicolás Bourbaki, el seudónimo colectivo usado por un grupo de matemáticos franceses del siglo XX (Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley, Alexander Grothendieck) que publicaron más de 30 volúmenes de Eléments de mathématique. Si un grupo moderno pudo mantener esta ficción, ¿por qué no uno antiguo?

Sin embargo, la mayoría de los historiadores acepta la primera hipótesis. El argumento más fuerte es que, si Euclides hubiera sido un colectivo, ¿quiénes eran esos brillantes matemáticos? Los nombres de otros grandes geómetras griegos (Eudoxo, Teeteto, Arquímedes, Apolonio) son bien conocidos. ¿Por qué los miembros del "equipo Euclides" permanecerían completamente anónimos?

Formación y Contexto

Aunque no hay certeza, es altamente probable que Euclides estudiara en la Academia de Platón en Atenas. Esto explicaría su profundo conocimiento de la geometría desarrollada por Eudoxo de Cnido y Teeteto, ambos asociados con la Academia. Su familiaridad con estas obras sugiere que recibió educación de primera línea en el epicentro intelectual de Grecia.

Curiosamente, Euclides parece menos familiarizado con las obras de Aristóteles, el rival filosófico de Platón. Esto podría indicar que su educación fue específicamente platónica, o simplemente que las obras lógicas de Aristóteles aún no se habían difundido ampliamente.

Después de su formación, Euclides se estableció en Alejandría, donde fundó o dirigió una escuela de matemáticas. Pappo de Alejandría, matemático del siglo IV d.C., sugiere que los alumnos de Euclides enseñaron allí, estableciendo una tradición matemática que duraría siglos.

La Personalidad de Euclides: Anécdotas Reveladoras

Aunque las anécdotas sobre figuras antiguas deben tomarse con cautela (a menudo son historias genéricas atribuidas a diversos personajes), algunas pintan un retrato consistente de Euclides.

La anécdota del camino real: Ptolomeo I, acostumbrado a que todo se le facilitara, le preguntó a Euclides si había un camino más corto para aprender geometría que no fuera estudiar Los Elementos. Euclides respondió: "No hay caminos reales hacia la geometría". El conocimiento no reconoce privilegios de nacimiento; rey y mendigo deben recorrer el mismo sendero intelectual.

La anécdota del estudiante mercenario: Un joven comenzó a estudiar geometría con Euclides. Tras aprender el primer teorema, preguntó: "¿Qué ganaré aprendiendo estas cosas?" Euclides llamó a su esclavo y le dijo: "Dale tres monedas, pues necesita obtener ganancia de lo que aprende". La ironía es mordaz: quien estudia solo por beneficio material ha perdido completamente el punto.

El testimonio de Pappo: El matemático Pappo escribió (aunque algunos dudan de la autenticidad del pasaje) que Euclides era "justísimo y benevolente con todos aquellos capaces de avanzar las matemáticas, cuidadoso de no ofender, y sin embargo un erudito riguroso que no se jactaba".

Estas historias pintan a un hombre que valoraba el conocimiento por sí mismo, que era democrático en su enseñanza, riguroso en su método, y modesto en su persona. Un maestro ideal.

Los Elementos: La Obra Que Cambió el Mundo

Los Elementos (Stoicheia en griego) no era una mera compilación de resultados conocidos, aunque ciertamente Euclides basó gran parte en trabajos anteriores. Su genio residió en:

1. Selección: Eligió qué incluir y qué omitir, separando lo fundamental de lo periférico.

2. Organización: Ordenó el material en una secuencia lógica impecable, donde cada proposición se construye sobre las anteriores.

3. Sistematización: Introdujo el método axiomático de manera magistral, deduciendo cientos de teoremas a partir de un puñado de principios básicos.

4. Claridad: Presentó demostraciones rigurosas pero comprensibles, estableciendo un estándar de claridad matemática.

La obra comienza con 23 definiciones, 5 postulados y 5 axiomas (o "nociones comunes"). Las definiciones establecen el vocabulario básico:

- "Un punto es aquello que no tiene partes"
- "Una línea es longitud sin anchura"
- "Una superficie es aquello que tiene solo longitud y anchura"

Estas definiciones tienen un carácter casi místico en su abstracción. Un punto sin dimensión, una línea sin grosor: son idealizaciones platónicas que no existen en el mundo físico pero que son perfectas en el reino del pensamiento.

Los cinco postulados geométricos son:

1. Se puede trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera
2. Un segmento de recta puede prolongarse indefinidamente
3. Se puede trazar un círculo con cualquier centro y cualquier radio
4. Todos los ángulos rectos son iguales

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores que dos rectos de un mismo lado, esas dos rectas se cortarán en ese lado (el famoso postulado de las paralelas)

Los cinco axiomas son verdades evidentes sobre magnitudes:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí
2. Si se añaden iguales a iguales, los resultados son iguales
3. Si se sustraen iguales de iguales, los restos son iguales
4. Cosas que coinciden entre sí son iguales
5. El todo es mayor que la parte

Desde estos humildes cimientos, Euclides construyó un palacio de 465 proposiciones distribuidas en trece libros.

Los Trece Libros: Un Viaje Intelectual

Libros I-VI: Geometría Plana

Los primeros seis libros tratan de geometría plana elemental.

Libro I: Introduce triángulos, paralelas, áreas. Culmina con el teorema de Pitágoras (Proposición 47): en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La demostración de Euclides es elegante y completamente geométrica.

Libro II: "Álgebra geométrica". Los griegos no tenían notación algebraica, pero podían representar ecuaciones algebraicas mediante figuras geométricas. Por ejemplo, (a+b)² = a² + 2ab + b² se demuestra construyendo cuadrados.

Libro III: Propiedades del círculo: tangentes, ángulos inscritos, cuerdas.

Libro IV: Construcción de polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono) inscritos y circunscritos en círculos.

Libro V: La teoría de proporciones de Eudoxo. Este libro es uno de los logros supremos del pensamiento griego. Thomas Heath, el gran historiador de las matemáticas griegas, escribió: "Las matemáticas griegas no pueden presumir de un descubrimiento mejor que esta teoría". Eudoxo había resuelto el problema de las magnitudes inconmensurables (números irracionales), permitiendo tratar rigurosamente proporciones que involucran tanto números racionales como irracionales.

Libro VI: Aplicaciones de la teoría de proporciones a la geometría: similitud de triángulos, teorema de Tales, áreas proporcionales.

Libros VII-IX: Teoría de Números

Estos tres libros son una introducción sistemática a la aritmética teórica.

Libro VII: Define número, unidad, par, impar, números primos. Presenta el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor, uno de los algoritmos más antiguos que aún se usa.

Libro VIII: Progresiones geométricas de números, proporciones continuas.

Libro IX: Contiene resultados profundos. La Proposición 20 demuestra que los números primos son infinitos, una de las demostraciones más hermosas de las matemáticas:

Demostración: Supongamos que hay una cantidad finita de números primos: p₁, p₂, ..., pₙ. Consideremos N = (p₁ × p₂ × ... × pₙ) + 1. Este número N no es divisible por ninguno de los primos en nuestra lista (siempre deja residuo 1). Por tanto, N es primo o es divisible por un primo no incluido en nuestra lista. En ambos casos, existe un primo que no estaba en la lista. Contradicción. Por tanto, los primos son infinitos.

Marcus du Sautoy, profesor de matemáticas en Oxford, compara este descubrimiento con el descubrimiento del átomo: los números primos son los "átomos" de las matemáticas, los bloques construcción de todos los números.

La Proposición 36 del Libro IX conecta números perfectos (aquellos iguales a la suma de sus divisores propios, como 6 = 1+2+3) con números de Mersenne (primos de la forma 2ⁿ−1). Este resultado, refinado siglos después por Euler, sigue siendo relevante en la teoría de números moderna.

Libro X: Magnitudes Inconmensurables

El libro X es el más largo y técnicamente difícil. Clasifica líneas irracionales (aquellas cuya longitud no puede expresarse como razón de dos números enteros). Es principalmente obra de Teeteto, reorganizada por Euclides. Contiene 115 proposiciones sobre raíces cuadradas y sus combinaciones.

Este libro fue considerado el más oscuro de Los Elementos. Incluso matemáticos posteriores lo encontraban confuso. Sin embargo, demuestra la sofisticación de la matemática griega en lidiar con lo irracional.

Libros XI-XIII: Geometría Sólida

Los últimos tres libros tratan geometría tridimensional.

Libro XI: Definiciones básicas (líneas perpendiculares a planos, ángulos sólidos, paralelogramos sólidos). Teoremas sobre líneas y planos en el espacio.

Libro XII: Áreas y volúmenes calculados por el método de exhaución de Eudoxo (un precursor del cálculo integral). Proposición 2: Los círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros. Proposición 18: Las esferas son entre sí como los cubos de sus diámetros.

Libro XIII: El gran final. Construcción de los cinco sólidos platónicos (poliedros regulares): tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Demuestra que solo existen estos cinco. Este libro refleja la influencia de la filosofía platónica; en el *Timeo*, Platón asociaba cuatro de estos sólidos con los elementos (fuego, tierra, aire, agua) y el quinto (el dodecaedro) con el cosmos entero.

El Quinto Postulado: Una Obsesión de Dos Milenios

El postulado de las paralelas siempre pareció diferente de los otros cuatro. Es más complicado, menos "evidente". Durante más de 2000 años, matemáticos intentaron demostrarlo como teorema a partir de los otros cuatro postulados. Todos fracasaron.

Solo en el siglo XIX se entendió por qué: el quinto postulado es independiente de los otros cuatro. Se pueden construir geometrías perfectamente consistentes donde no se cumple:

- Geometría hiperbólica (Lobachevsky, Bolyai): Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a dicha recta.

- Geometría elíptica (Riemann): No existen paralelas; todas las rectas acaban cortándose.

Estas geometrías no euclidianas no son meras curiosidades. La geometría de Riemann resulta ser la adecuada para describir el espacio-tiempo curvo de la relatividad general de Einstein. El universo no es euclidiano.